3.235 \(\int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=350 \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b} \]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^3
*Csc[a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-
I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*Poly
Log[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(
I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])
/b^4 - ((6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.640135, antiderivative size = 350, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 23, number of rules used = 14, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.636, Rules used = {2621, 321, 207, 4420, 6741, 12, 6742, 6273, 4181, 2531, 6609, 2282, 6589, 4183} \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x],x]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^3
*Csc[a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-
I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*Poly
Log[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(
I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])
/b^4 - ((6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx &=\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-(3 d) \int (c+d x)^2 \left (\frac{\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-(3 d) \int \frac{(c+d x)^2 \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right )}{b} \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int \left ((c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-(c+d x)^2 \csc (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{\int b (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (6 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.41717, size = 739, normalized size = 2.11 \[ \frac{3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )-3 i b^2 d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b c d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b d^3 x \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c^2 d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c^2 d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b^3 c^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^3 c d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+b^3 d^3 x^3 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-b^3 d^3 x^3 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 d \left (\frac{2 i d \left (b (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )+i d \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^2}+\frac{2 d \left (d \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )-i b (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^2}+(c+d x)^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )-(c+d x)^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^2}+\frac{\csc \left (\frac{a}{2}\right ) \csc \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (3 c^2 d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+c^3 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+3 c d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+d^3 x^3 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )}{2 b}+\frac{\sec \left (\frac{a}{2}\right ) \sec \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (-3 c^2 d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+c^3 \left (-\sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )-3 c d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )-d^3 x^3 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )}{2 b}-\frac{\csc (a) (c+d x)^3}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x],x]

[Out]

-(((c + d*x)^3*Csc[a])/b) + (3*d*((c + d*x)^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - (c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))]
+ ((2*I)*d*(b*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] + I*d*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))]))/b^2 + (2*d*((-I)*b*(
c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))] + d*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))]))/b^2))/b^2 + ((-2*I)*b^3*c^3*ArcTan[E^(I
*(a + b*x))] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + b^3*d^3
*x^3*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*(a
+ b*x))] - b^3*d^3*x^3*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))]
- (3*I)*b^2*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*d^3
*x*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x*PolyLog[3, I*E^(I*(a
+ b*x))] - (6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (Sec[a
/2]*Sec[a/2 + (b*x)/2]*(-(c^3*Sin[(b*x)/2]) - 3*c^2*d*x*Sin[(b*x)/2] - 3*c*d^2*x^2*Sin[(b*x)/2] - d^3*x^3*Sin[
(b*x)/2]))/(2*b) + (Csc[a/2]*Csc[a/2 + (b*x)/2]*(c^3*Sin[(b*x)/2] + 3*c^2*d*x*Sin[(b*x)/2] + 3*c*d^2*x^2*Sin[(
b*x)/2] + d^3*x^3*Sin[(b*x)/2]))/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.679, size = 1158, normalized size = 3.3 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x)

[Out]

-6*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4+3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-3
*d^3/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3*d^3/b^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6/b^3*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a*x-6/b^3*
c*d^2*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-2*I*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))-1)+6*I
/b^2*c^2*d*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,I*exp
(I*(b*x+a)))*x-6*I/b^3*c*d^2*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^4*d^3*a*dilog(exp(I*(b*x+a))+1)-6*d^2/b^2*c*ln(e
xp(I*(b*x+a))+1)*x-6*I*d^3/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-6*I*d^3*polylog(4,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*I/b^2*c^
2*d*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*I/b^2*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*
x+a)))*x^2+2*I/b^4*d^3*a^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-3/b^2*c^2*d*ln(ex
p(I*(b*x+a))+1)+3/b^2*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+3/b^4*d^3*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+
a)))*x^3+1/b*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^3+6/b^3*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*d^3*polylog(3,-I*exp
(I*(b*x+a)))*x+1/b^4*a^3*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))-6/b^3*c*d^2*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))-1/b^4*a^3*d^3*ln(
1+I*exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c*d^2*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))-2*I/b*c^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*I*d^3*polylog(4
,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^3*a^2*c*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+3/b*c*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-3/b*c*d^2*l
n(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+3/b^3*a^2*c*d^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))+3/b*c^2*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^2*c^2*
d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-3/b*c^2*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-3/b^2*c^2*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*I*d^3/b^3
*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x-6*I/b^4*d^3*a*dilog(exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^3*d^2*c*dilog(exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*
d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*a+6*I/b^3*d^2*c*dilog(exp(I*(b*x+a))+1)-6*I/b^4*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 4.38934, size = 4374, normalized size = 12.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^3*(2/sin(b*x + a) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1)) - 3*a*c^2*d*(2/sin(b*x + a) - log(s
in(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b + 3*a^2*c*d^2*(2/sin(b*x + a) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*
x + a) - 1))/b^2 - a^3*d^3*(2/sin(b*x + a) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b^3 - 2*((2*(b*x +
a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a) - 2*((b*x + a)^3
*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (
-2*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*a^2*d^3
)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (2*(b*x + a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a) - 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(
b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-2*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-6*I
*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a
))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) + (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12
*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b
*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*
d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (6*b^2*c^2*d - 12*a*b
*c*d^2 + 6*a^2*d^3 - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2
+ 6*I*a^2*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 -
a*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^
3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - 4*((b
*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a
) + (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*(b^2*c^2*
d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-6*I*b^2*c^2*
d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2
*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*
d^3)*(b*x + a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2
*b*x + 2*a) - (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3
)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) - (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 - 12*(b*c
*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x +
2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^
3)*cos(2*b*x + 2*a) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a
)) + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*(b*x + a)^2*d^3 - 3*I*a^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a
) + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*(b*x + a)^2*d^3 + 3*I*a^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*
cos(2*b*x + 2*a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin
(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*
I*(b*x + a)^2*d^3 + 3*I*a^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*
(b*x + a)^2*d^3 - 3*I*a^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*
c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(
b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*I*b^2*c^2*d
- 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^3*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-3
*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^
3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b
*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (-I*(b*x + a)^3*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-3*I*b^2*c^2
*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*
I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3
)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*
x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - d^3)*polylog(4, I*e^(I*b*
x + I*a)) - 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - d^3)*polylog(4, -I*e^(I*b*x + I*a)) + (12*I*b*
c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) +
12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*
(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3 + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - 12*(b*c*d^2 +
(b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) + (12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 12*d^3
*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^3)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + (-12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^3*sin(2*b*x +
2*a) + 12*I*d^3)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (-4*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^
2 + (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-2*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 2*
b^3*sin(2*b*x + 2*a) + 2*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.951221, size = 4446, normalized size = 12.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 - 6*I*d^3*polylog(4, I*cos(b*x + a) + sin(b*
x + a))*sin(b*x + a) - 6*I*d^3*polylog(4, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*I*d^3*polylog(4, -I*
cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*I*d^3*polylog(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) -
6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))
*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x + a)
- I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x +
a) - (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b
^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*
d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x
+ 3*I*b^2*c^2*d)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I
*b^2*c^2*d)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*dilog(-cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x
+ a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^3
*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d
^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c
^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d
^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b
*x + a) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(I*cos(
b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3
*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2
+ 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a
) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 3*(
b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*d^3
*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^3*c^3
- 3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*d^3*x
^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^3*c^3 -
3*a*b^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 6*(b*d^3*x + b
*c*d^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*polylog(3, I*cos(b*x +
a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a
) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a))/(b^4*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**2*sec(b*x+a),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \csc \left (b x + a\right )^{2} \sec \left (b x + a\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*csc(b*x + a)^2*sec(b*x + a), x)